Théorème des gendarmes

Dans cette perle,  \(\alpha\) désigne \(-\infty\) ,  \(+\infty\)  ou un réel.

Théorème des gendarmes

Soit  `f` , `g`  et `h`  trois fonctions telles que :

• \(f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x)\)  au voisinage de  \(\alpha\) ;
  
• il existe  \(\ell \in \mathbb{R}\) tel que  \(\lim\limits_{x \to \alpha}f(x)=\ell\) et  \(\lim\limits_{x \to \alpha}h(x)=\ell\)  ; 
  

alors  \(\lim\limits_{x \to \alpha}g(x)=\ell\) .

Énoncé

Déterminer la limite suivante :  \(\lim\limits_{x \to +\infty}\left(1+\displaystyle\frac{\sin(x^2)}{x}\right)\) .

Solution

Pour tout réel \(x, \ -1 \leqslant \sin(x^2) \leqslant 1\) .
Pour tout réel \(x>0, \ -\displaystyle\frac{1}{x} \leqslant \displaystyle\frac{\sin(x^2)}{x} \leqslant \displaystyle\frac{1}{x}\) .
Enfin, pour tout réel \(x>0, \ 1-\displaystyle\frac{1}{x} \leqslant 1+\displaystyle\frac{\sin(x^2)}{x} \leqslant 1+\displaystyle\frac{1}{x}\) .
\(\lim\limits_{x \to +\infty}\left(1-\displaystyle\frac{1}{x}\right)=1\)  et \(\lim\limits_{x \to +\infty}\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)=1\)  donc, d'après le théorème des gendarmes, \(\lim\limits_{x \to +\infty}\left(1+\displaystyle\frac{\sin(x^2)}{x}\right)=1\) .

Remarque

D'après le résultat précédent, la courbe représentative de la fonction \(f\)  définie sur \([1\ ;+\infty[\)  par \(f(x)=1+\displaystyle\frac{\sin(x^2)}{x}\)  admet une asymptote horizontale d'équation \(y=1\)  au voisinage de \(+\infty\) .